Question

【題目】為了保護環境,某工廠在政府部門的支持下,進行技術改進：把二氧化碳轉化為某種化工產品,經測算,該處理成本y（萬元）與處理量x（噸）之間的函數關系可近似地表示為：,且每處理一噸二氧化碳可得價值為20萬元的某種化工產品．

（1）當時,判斷該技術改進能否獲利？如果能獲利,求出最大利潤;如果不能獲利,則國家至少需要補貼多少萬元,該工廠才不虧損？

（2）當處理量為多少噸時,每噸的平均處理成本最少．

Answer 1

【答案】（1）國家至少需要補貼700萬元，該工廠才不會虧損；（2）當處理量為噸時，每噸的平均處理成本最少．

【解析】

試題（1）利用每處理一噸二氧化碳可得價值為20萬元的某種化工產品，及處理成本（萬元）與處理量（噸）之間的函數關系，可得利潤函數，利用配方法，即可求得結論；（2）求得二氧化碳的每噸平均處理成本函數是分段函數，再分段求出函數的最值，比較其大小，即可求得結論．

試題解析：（Ⅰ）當時，設該工廠獲利為，則，所以當時，，因此，該工廠不會獲利，所以國家至少需要補貼700萬元，該工廠才不會虧損； 5分

（Ⅱ）由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為6分

（1）當時，，所以，因為，所以當時，，為減函數；當時，，為增函數，所以當時，取得極小值． 9分

（2）當時，，當且僅當，即時，取最小值， 12分

因為，所以當處理量為噸時，每噸的平均處理成本最少． 13分