Question

已知數列{a_n}的前n項和，數列為等比數列，且首項b₁和公比q滿足：
(I)求數列的通項公式;
(II)設，記數列的前n項和，若不等式對任意恒成立,求實數的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=5．
當n≥2時a_n=S_n-S_n-1=n²+4n-(n-1)²-4(n-1)=2n+3，
驗證n=1時也成立．
∴數列{a_n}的通項公式為：a_n=2n+3（n∈N*）．
∵
∴ 解得：b₁=2，q=3．
∴數列{b_n}的通項公式為：b_n=2·3^n-1．……………………………………5分
（Ⅱ）∵ ，
∴ T_n= c₁+ c₂+ c₃+…+ c_n
=3+2·3²+3·3³+……+n·3ⁿ················ ①
3T_n=3²+2·3ⁿ+3·3⁴+……+n·3ⁿ⁺¹·············· ②
由①-②得：-2T_n=3+3²+……+3ⁿ-n·3ⁿ⁺¹
=
，
∴ ．………………………………………………………8分
不等式λ(a_n-2n)≤4T_n可化為λ≤(2n-1)·3ⁿ+1，（*）
設f(n)=(2n-1)·3ⁿ+1，
易知函數f (n)在n∈N^*上單調遞增，
故當n=1時(2n-1)·3ⁿ+1取得最小值為4，
∴由題意可知：不等式(*)對一切n∈N^*恒成立，只需λ≤4．
∴實數λ的最大值為4．

略