Question

已知圓C經過A（1，

3

）、B（

2

，-

2

），且圓心在直線y=x上．
（1）求圓C的方程；
（2）設直線l的方程為（t³+2t）x+（t³+t+1）y-（t³+2t）=0，
①證明：對任意實數t，直線l過定點P；
②過動點M作圓C的兩條切線，切點分別為A和B，且有

MA

•

MB

=0，求M的軌跡方程．

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：（1）利用待定系數法求出圓心和半徑即可求圓C的方程；
（2）①將直線方程進行整理，即可求得定點坐標，②根據

MA

•

MB

=0，即可得到結論．

解答： 解：（1）設圓心坐標為C（a，a），
則由|CA|=|CB|得

(a-1)2+(a- 3 )2

=

(a- 2 )2+(a+ 2 )2

，
解得a=0，
即圓心C（0，0），
則半徑r=|CA|=

(a-1)2+(a- 3 )2

=

1+3

=

4

=2，
則圓C的方程為x²+y²=4；
（2）∵（t³+2t）x+（t³+t+1）y-（t³+2t）=0，
∴（t³+2t）（x-1）+（t³+t+1）y=0，
∴當x=1，y=0時，方程（t³+2t）（x-1）+（t³+t+1）y=0恒成立，
即對任意實數t，直線l過定點P（1，0）．
∵過動點M作圓C的兩條切線，切點分別為A和B，且有

MA

•

MB

=0，
∴ACBM是正方形，
∴M的軌跡方程是x²+y²=8．

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．利用待定系數法是解決本題的關鍵．