Question

已知定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x-4）=-f（x）．
（1）當f（1）=3時，求f（2015）的值；
（2）求證：函數f（x）的圖象關于直線x=2對稱；
（3）若f（x）滿足在區間[0，2]上是增函數的條件，且f（2）=1，求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由已知可f（x）是以8為周期的周期函數，故f（2015）=f（-1）=-f（1）=-3；
（2）設P（x₀，y₀）是函數y=f（x）圖象上任意一點，則y₀=f（x₀），P點關于x=2的對稱點為Q（4-x₀，y₀），結合已知中定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x-4）=-f（x），結合（1）中函數的周期為8，可得f（4-x₀）=y₀，即Q在函數y=f（x）圖象上，則y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱．
（3）由奇函數滿足f（0）=0，結合f（x）在區間[0，2]上是增函數，f（2）=1，可得故f（x）在區間[0，2]上值域為[0，1]，結合奇偶性f（x）在區間[-2，2]上值域為[-1，1]，結合對稱性而f（x）在區間[2，6]上值域為[-1，1]，結合周期性可得函數f（x）的值域為[-1，1]．

解答： 解：（1）∵f（x-4）=-f（x）．
∴f（x-8）=f[（x-4）-4]=-f（x-4）=f（x）．
函數f（x）是以8為周期的周期函數，
又∵2015÷8=251…7
故f（2015）=f（-1），
又∵奇函數f（x）滿足f（1）=3，
∴f（2015）=-3；
證明：（2）設P（x₀，y₀）是函數y=f（x）圖象上任意一點，則y₀=f（x₀），
又P點關于x=2的對稱點為Q（4-x₀，y₀），
由已知f（x-4）=-f（x）．
可得，f（4-x₀）=f（（8-x₀）-4）=-f（8-x₀）=f（x₀-8）=y₀，
即Q在函數y=f（x）圖象上，
則y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱．
解：（3）∵f（x）在區間[0，2]上是增函數，
f（2）=1，f（0）=0，
故f（x）在區間[0，2]上值域為[0，1]，
故f（x）在區間[-2，0]上是增函數，值域為[-1，0]，
故f（x）在區間[-2，2]上值域為[-1，1]，
又由（2）得y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱，
故f（x）在區間[2，6]上值域為[-1，1]，
又由f（x）是以8為周期的周期函數，
故函數f（x）的值域為[-1，1]．

點評：本題考查的知識點是函數的周期性，函數的對稱性，函數的奇偶性，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．