Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD的頂點(diǎn)P在底面ABCD上的投影恰好是A，其正視圖與側(cè)視圖都是腰長為a的等腰直角三角形．則在四棱錐P﹣ABCD的任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線中，互相垂直的異面直線共有 對．

Answer 1

【答案】8
【解析】解：∵四棱錐P﹣ABCD的頂點(diǎn)P在底面ABCD上的投影恰好是A，
其正視圖與側(cè)視圖都是腰長為a的等腰直角三角形，
∴四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，ABCD是邊長為a的正方形，PA=a，（如圖）
∴在四棱錐P﹣ABCD的任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線中，互相垂直的異面直線有：
PA和CD，PA和BC，PA和BD，PD和AB，PB和AD，PC和BD，PD和BC、PB和CD，共8對．
所以答案是：8．

【考點(diǎn)精析】利用簡單空間圖形的三視圖和異面直線的判定對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等；過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）．