Question

【題目】已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）= ，其中e是自然常數，a∈R．
（1）討論a=1時，函數f（x）的單調性和極值；
（2）求證：在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+ ；
（3）是否存在實數a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因為 ，所以當0＜x＜1時，f'（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減．

當1＜x≤e時，f'（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增．所以函數f（x）的極小值為f（1）=1．

（2）

證明：因為函數f（x）的極小值為1，即函數f（x）在（0，e]上的最小值為1．

又 ，所以當0＜x＜e時，g'（x）＞0，此時g（x）單調遞增．

所以g（x）的最大值為g（e）= ，所以 ，所以在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+ ．

（3）

解：假設存在實數a，使f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，則 ，

①當a≤0時，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上單調遞減， ，（舍去），此時函數f（x）的最小值不是3．

②當0 時，f（x）在（0， ]上單調遞減，f（x）在（ ，e]上單調遞增．

所以 ，滿足條件．

③當 時，f（x）在（0，e]上單調遞減， ，（舍去），此時函數f（x）的最小值是不是3．

綜上可知存在實數a=e2，使f（x）的最小值是3

【解析】（1）當a=1時，求函數的定義域，然后利用導數求函數的極值和單調性．（2）利用（1）的結論，求函數f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它們之間的關系證明不等式．（3）利用導數求函數的最小值，讓最小值等于3，解參數a．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．