Question

【題目】定義：設為上的可導函數，若為增函數，則稱為上的凸函數.

（1）判斷函數與是否為凸函數；

（2）設為上的凸函數，求證：若， ，則恒有成立；

（3）設， ， ，求證： .

Answer 1

【答案】（1）不是， 是；（2）詳見解析（3）詳見解析

【解析】試題分析：（1）由函數的導函數是否為增函數可得（2）先證明n=2時，不等式成立，再通過數學歸納法證明時，不等式成立。（3）令， ， ，即證：（）成立，由（1）得為凸函數，而，即證。

試題解析：（1）因為的導函數不是增函數，所以不是凸函數， 是；

（2）時，即證： 且時，

不防設， ，令

因為

且時遞增函數，所以，即為單調遞增函數，

所以，即；

假設時，結論成立，

即， ， ， ，有成立，

則時， ， ， ， ，有

所以時，結論也成立，

綜合以上可得，原結論成立.

（3）令， ， ，即證：（）

成立，

由（1）得為凸函數，而，

有

而，同理有：

，

則成立，得證.