Question

【題目】已知點(diǎn)，，，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，可以與點(diǎn)重合.當(dāng)不與重合時(shí)，直線與的斜率之積為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）一個(gè)矩形的四條邊與動(dòng)點(diǎn)的軌跡均相切，求該矩形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）當(dāng)與點(diǎn)不重合時(shí)，根據(jù)直線與的斜率之積為，直接可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，或，最后寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）記矩形面積為，當(dāng)矩形一邊與坐標(biāo)軸平行時(shí)，易知.

當(dāng)矩形各邊均不與坐標(biāo)軸平行時(shí)，

根據(jù)對(duì)稱性，設(shè)其中一邊所在直線方程為，則對(duì)邊方程為

另一邊所在的直線為，則對(duì)邊方程為，

聯(lián)立：，得，

則，即.矩形的一邊長為，

同理：，矩形的另一邊長為，

，綜上：.

解：（1）當(dāng)與點(diǎn)不重合時(shí)，

，得，即，

當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，或.

綜上，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.

（2）記矩形面積為，當(dāng)矩形一邊與坐標(biāo)軸平行時(shí)，易知.

當(dāng)矩形各邊均不與坐標(biāo)軸平行時(shí)，

根據(jù)對(duì)稱性，設(shè)其中一邊所在直線方程為，則對(duì)邊方程為

另一邊所在的直線為，則對(duì)邊方程為，

聯(lián)立：，得，

則，即.

矩形的一邊長為，

同理：，矩形的另一邊長為，

，

綜上：.