Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x），其中a＞0且a≠1
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）+g（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求使f（x）＜g（x）成立的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,對(duì)數(shù)值大小的比較

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）+g（x）的奇偶性；
（Ⅱ）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解不等式f（x）＜g（x）．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x），
由

x+1＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1），
設(shè)F（x）=f（x）+g（x），
則F（-x）=f（-x）+g（-x）=log_a（-x+1）+log_a（1+x）=f（x）+g（x）=F（x），
即函數(shù)f（x）+g（x）是偶函數(shù)；
（Ⅱ）由f（x）＜g（x）得log_a（x+1）＜log_a（1-x），
若a＞1，則

x+1＞0 1-x＞0 x+1＜1-x

，即

x＞-1 x＜1 x＜0

，即-1＜x＜0，
若0＜a＜1，則

x+1＞0 1-x＞0 x+1＞1-x

，即

x＞-1 x＜1 x＞0

，即0＜x＜1，
故若a＞1，不等式的解集為（-1，0），
若0＜a＜1，不等式的解集為（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及對(duì)數(shù)不等式的求解，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．