Question

已知△ABC的重心為G，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若2a

GA

+

3

b

GB

+3c

GC

=0，則sinA：sinB：sinC=（　　）

• A、1：1：1
• B、

  3

  ：1：2
• C、

  3

  ：2：1
• D、3：2

  3

  ：2

Answer 1

考點：正弦定理,向量加減混合運算及其幾何意義

專題：解三角形

分析：已知等式利用正弦定理化簡，整理后根據兩向量不共線，表示出sinA與sinB，求出sinA，sinB，sinC之比即可．

解答： 解：設a，b，c為角A，B，C所對的邊，由正弦定理2sinA

GA

+

3

sinB

GC

+3sinC

GC

=0，
由△ABC的重心為G，得2sinA

GA

+

3

sinB

GB

=-3sinC

GC

=-3sinC（-

GA

-

GB

），
整理得：（2sinA-3sinC）

GA

+（

3

sinB-3sinC）

GB

=0，
∵

GA

，

GB

不共線，
∴2sinA-3sinC=0，

3

sinB-3sinC=0，
即sinA=

3

2

sinC，sinB=

3

sinC，
則sinA：sinB：sinC=

3

2

：

3

：1=3：2

3

：2，
故選：D．

點評：此題考查了正弦定理，平面向量加減混合運算及其幾何意義，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．