Question

函數f（x）滿足對定義域內的任意x，都有f（x+2）+f（x）＜2f（x+1），則函數f（x）可以是（　　）

• A、f（x）=2x+1
• B、f（x）=x²-2x
• C、f（x）=e^x
• D、f（x）=lnx

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：將所給的不等式化為：“f（x+2）-f（x+1）＜f（x+1）-f（x）”，得到不等式對應的函數含義，根據基本函數同為增函數時的增長情況，對答案項逐一進行判斷即可．

解答： 解：由f（x+2）+f（x）＜2f（x+1）得，
f（x+2）-f（x+1）＜f（x+1）-f（x）①，
∵（x+2）-（x+1）=（x+1）-x，
∴①說明自變量變化相等時，當自變量越大時，對應函數值的變化量越來越小，
對于A、f（x）=2x+1是一次函數，且在R上直線遞增，函數值的變化量是相等的，A錯；
對于B、f（x）=x²-2x在定義域上不是單調函數，在（-∞，1）上遞減，在（1，+∞）遞增，B錯；
對于C、f（x）=e^x是增長速度最快-呈爆炸式增長的指數函數，當自變量越大時，
對應函數值的變化量越來越大，C錯；
對于D、f（x）=lnx是增長越來越慢的對數函數，當自變量越大時，
對應函數值的變化量越來越小，D正確．
故選D．

點評：本題考查了基本函數同為增函數時的增長速度的應用，此題的關鍵是將不等式進行轉化，并能理解不等式所表達的函數意義，考查了分析問題、解決問題的能力．