Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且

a+c

a+b

=

b-a

c

，
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC最大邊的邊長為

7

，且sinC=2sinA，求最小邊長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把題設中的等式整理得即ac+c²=b²-a²，進而代入余弦定理求得cosB的值，進而求得B．
（Ⅱ）根據B為鈍角可推斷出b為最長邊，根據sinC=2sinA，利用正弦定理可知c=2a，進而推斷a為最小邊，進而利用余弦定理求得a．

解答：解：（Ⅰ）由

a+c

a+b

=

b-a

c

，
整理得（a+c）c=（b-a）（a+b），
即ac+c²=b²-a²，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=-

ac

2ac

=-

1

2

，
∵0＜B＜π，∴B=

2π

3

．
（Ⅱ）∵B=

2π

3

，∴最長邊為b，
∵sinC=2sinA，∴c=2a，
∴a為最小邊，由余弦定理得

7

2=a2+4a2-2a•2a•(-

1

2

)，解得a²=1，
∴a=1，即最小邊長為1

點評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用．正弦定理和余弦定理及其變形公式是解三角形問題中常用的公式，故應熟練記憶．