Question

已知函數f（x）定義域為R且同時滿足：①f（x）圖象左移1個單位后所得函數為偶函數；②對于任意大于1的不等實數a，b，總有

f(a)-f(b)

a-b

＞0成立．
（1）f（x）的圖象是否有對稱軸？如果有，寫出對稱軸方程．并說明在區間（-∞，1）上f（x）的單調性；
（2）設g(x)=

1

f(x)

+

1

2-x

，如果f（0）=1，判斷g（x）=0是否有負實根并說明理由；
（3）如果x₁＞0，x₂＜0且x₁+x₂+2＜0，比較f（-x₁）與f（-x₂）的大小并簡述理由．

Answer 1

分析：（1）由條件（1）得f（x）的圖象關于直線x=1對稱，有條件（2）可得f（x）在（1，+∞）上單調遞增，從而可判斷f（x）在（-∞，1）上單調性；
（2）若g（x）=0有負根x₀，由 g（x₀）=

1

f(x0)

+

1

2-x0

=0可求得f（x₀）=x₀-2，再借助f（x）在（-∞，1）上單調遞減，可得出矛盾；
（3）點（-x₁，f（-x₁））與點（2+x₁，f（2+x₁））為f（x）上關于直線x=1對稱的兩點，結合x₁+x₂+2＜0，f（x）在（1，+∞）上單調遞增，即可比較f（-x₁）與f（-x₂）的大小．

解答：（1）解：由條件（1）得f（x）的圖象關于直線x=1對稱…（2分）
有條件（2）得a＞b＞1時，f（a）＞f（b）恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上單調遞增…（4分）
又∵f（x）的圖象關于直線 x=1對稱，
∴f（x）在（-∞，1）上單調遞減…（5分）
（2）若g（x）=0有負根x₀，則  g（x₀）=

1

f(x0)

+

1

2-x0

=0，
∴f（x₀）=x₀-2．
∵f（0）=1，f（x）在（-∞，1）上單調遞減，
∴f（x₀）＞1，
∴x₀-2＞1，即x₀＞3與x₀＜0矛盾，故g（x）=0無負實根…（10分）
（3）解：點（-x₁，f（-x₁））與點（2+x₁，f（2+x₁））為f（x）上關于直線x=1對稱的兩點，
∵x₁+x₂+2＜0，
∴2＜x₁+2＜-x₂，又f（x）在（1，+∞）上單調遞增，
∴f（-x₂）＞f（2+x₁）=f（-x₁）…（16分）

點評：本題考查函數的圖象，著重考查函數的單調性與對稱性，難點在于（3）的分析與轉化，比較抽象，屬于難題．