Question

（2009•連云港二模）已知函數(shù)f（x）定義在正整數(shù)集上，且對(duì)于任意的正整數(shù)x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，則f（2009）=

4018

．

Answer 1

分析：把f（x+2）=2f（x+1）-f（x）轉(zhuǎn)化后，得到此函數(shù)值構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列，根據(jù)題意求出首項(xiàng)和公差，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出f（2009）的值．

解答：解：由題意知，對(duì)于任意的正整數(shù)x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），
故f（x+2）-f（x+1）=f（x+1）-f（x），
則此函數(shù)的值構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)f（1）=2，公差為

f(3)-f(1)

2

=2，
∴f（2009）=2+2008×2=4018．
故答案為：4018．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)求值，此題通過(guò)關(guān)系式把函數(shù)值和等差數(shù)列聯(lián)系在一起，把函數(shù)求值轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題，設(shè)計(jì)非常新穎，是個(gè)好題．