Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）證明當(dāng)時，關(guān)于的不等式恒成立；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值，從而證出結(jié)論即可；

解析：

（1），

由f'（x）＜0，得2x2﹣x﹣1＞0．又x＞0，所以x＞1，

所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞），函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為（0，1）．

（2）令，

所以，

因為a≥2，所以，

令g'（x）=0，得，所以當(dāng)，當(dāng)時，g'（x）＜0，

因此函數(shù)g（x）在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，

故函數(shù)g（x）的最大值為，

令，因為，又因為h（a）在a∈（0，+∞）是減函數(shù)，

所以當(dāng)a≥2時，h（a）＜0，即對于任意正數(shù)x總有g(shù)（x）＜0，

所以關(guān)于x的不等式恒成立．