Question

如圖，F₁、F₂分別是橢圓C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF₂與橢圓C的另一個交點，∠F₁AF₂＝60°.

(1)求橢圓C的離心率；
(2)已知△AF₁B的面積為40，求a，b的值．

Answer 1

（1）e＝.（2）a＝10，b＝5

(1)由題意可知，△AF₁F₂為等邊三角形，a＝2c，所以e＝.
(2)方法一：a²＝4c²，b²＝3c²，直線AB的方程為y＝－ (x－c)，
將其代入橢圓方程3x²＋4y²＝12c²，得B，
所以|AB|＝..
由S△AF₁B＝ |AF₁|·|AB|·sin∠F₁AB＝a·c·＝ a²＝40，
解得a＝10，b＝5.
方法二：設|AB|＝t.因為|AF₂|＝a，所以|BF₂|＝t－a，
由橢圓定義|BF₁|＋|BF₂|＝2a可知，|BF₁|＝3a－t，
再由余弦定理(3a－t)²＝a²＋t²－2atcos 60°可得，t＝a，
由S△AF₁B＝aa＝a²＝40知，a＝10，b＝5.