Question

設A，B分別是直線y＝x和y＝－x上的動點，且|AB|＝，設O為坐標原點，動點P滿足＝＋.
(1)求點P的軌跡方程；
(2)過點(，0)作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，直線l₁，l₂與點P的軌跡的相交弦分別為CD，EF，設CD，EF的弦中點分別為M，N，求證：直線MN恒過一個定點．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）見解析

(1)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x，y)，
∵＝＋，∴x＝x₁＋x₂，y＝y₁＋y₂，
∵y₁＝x₁，y₂＝－x₂，?
∴x＝x₁＋x₂＝ (y₁－y₂)，y＝y₁＋y₂＝ (x₁－x₂)．
∵|AB|＝＝，∴x²＋2y²＝2，
∴點P的軌跡方程為＋y²＝1.
(2)證明：設C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，直線l₁的方程為x－＝ky.
由，得(k²＋4)y²＋2ky－1＝0，
∴y₁＋y₂＝－，x₁＋x₂＝.∴M點坐標為，
同理可得N點坐標為.
∴直線MN的斜率k_MN＝.
∴直線MN的方程為y＋＝.
整理化簡得4k⁴y＋(4－5x)k³＋12k²y－16y＋(－20x＋16)k＝0，
∴x＝，y＝0，∴直線MN恒過定點