Question

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，對任意x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）．數列{a_n}滿足：a₁=2，a_n=f（2ⁿ），n∈N^*．則數列{a_n}的通項公式a_n=

 

．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,數列的概念及簡單表示法

專題：計算題,函數的性質及應用,等差數列與等比數列

分析：由題意可得2=f（2），令x=2ⁿ，y=2則f（2ⁿ⁺¹）=2ⁿf（2）+2f（2ⁿ），則可化出

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，從而求數列{a_n}的通項公式．

解答： 解：由于a_n=f（2ⁿ）則a_n+1=f（2ⁿ⁺¹）且a₁=2=f（2），
∵對于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x），
∴令x=2ⁿ，y=2則f（2ⁿ⁺¹）=2ⁿf（2）+2f（2ⁿ），
∴a_n+1=2a_n+2×2ⁿ
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，
∴{

an

2n

}是以1為首項公差為1的等差數列，
∴

an

2n

=1+（n-1）×1=n
∴a_n=n2ⁿ．
故答案為：n•2ⁿ．

點評：本題考查了抽象函數的性質應用及數列的表示及構造數列的方法，屬于難題．