Question

已知各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，且4S_n=a_n²+2a_n（n∈N^*）
（1）求a₁的值及數列{an}的通項公式；
（2）記數列{

1

an3

}的前n項和為T_n，求證：T_n＜

7

32

（n∈N^*）

Answer 1

考點：數列的求和,數列的函數特性

專題：計算題,證明題,等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（1）令n=1，a₁=S₁=，即可得到首項，再由當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，化簡整理，即可得到a_n-a_n-1=2，再由等差數列通項公式，即可得到通項；
（2）運用放縮法，即有

1

an3

=

1

(2n)3

=

1

8

•

1

n3

＜

1

8

•

1

n2

＜

1

8

•

1

n2-1

=

1

16

（

1

n-1

-

1

n+1

）（n＞1）．再由裂項相消求和，即可得證．

解答： （1）解：當n=1時，4a₁=4S₁=a₁²+2a₁，解得a₁=2，（0舍去），
∵4S_n=a_n²+2a_n，當n＞1時，4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1，
∴兩式相減可得4a_n=a_n²-a_n-1²+2a_n-2a_n-1，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵數列{a_n}各項均正，
∴a_n-a_n-1=2，∴{a_n}是以2為公差，2為首項的等差數列，
∴a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）證明：由于

1

an3

=

1

(2n)3

=

1

8

•

1

n3

＜

1

8

•

1

n2

＜

1

8

•

1

n2-1

=

1

16

（

1

n-1

-

1

n+1

）（n＞1）．
則T_n=

1

8

+

1

8•23

+

1

8

•

1

33

+…+

1

8

•

1

n3

＜

1

8

+

1

16

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

）=

1

8

+

1

16

（1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

）
＜

1

8

+

1

16

×(1+

1

2

)=

7

32

，
即有T_n＜

7

32

．

點評：本題考查數列的通項和前n項和的關系，考查等差數列的通項公式的運用，考查數列的求和方法：裂項相消法，考查運算能力，屬于中檔題．