Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2cosx（ sinx+cosx）+m，（x∈R，m∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在區(qū)間[0， ]上的最大值是6，求f（x）在區(qū)間[0， ]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=2cosx（ sinx+cosx）+m

= sin2x+cos2x+1+m=2sin（2x+ ）+1+m，

故函數(shù)f（x）的最小正周期為π

（2）解：在區(qū)間[0， ]上，2x+ ∈[ ， ]，

故當(dāng)2x+ = 時，f（x）取得最大值為2+1+m=6，∴m=3．

故當(dāng)2x+ = 時，f（x）取得最小值為﹣1+1+m=3

【解析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性求得函數(shù)f（x）的最小正周期．（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得m的值，從而求得f（x）在區(qū)間[0， ]上的最小值．
【考點精析】關(guān)于本題考查的三角函數(shù)的最值，需要了解函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值為；當(dāng)時，取得最大值為，則，，才能得出正確答案．