Question

【題目】如圖，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，AB=2，C是⊙O上一點，且AC=BC，PC與⊙O所在的平面成45°角，E是PC中點．F為PB中點．
（1）求證：EF∥面ABC；
（2）求證：EF⊥面PAC；
（3）求三棱錐B﹣PAC的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在三角形PBC中，

∵E是PC中點，F為PB中點，

∴EF∥BC，BC面ABC，EF面ABC，

∴EF∥面ABC

（2）證明：∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA．

又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC，

∴BC⊥面PAC

∵EF∥BC，BC⊥面PAC，

∴EF⊥面PAC

（3）解：∵PA⊥⊙O所在的平面，AC是PC在面ABC內的射影，

∴∠PCA即為PC與面ABC所成角，

∴∠PCA=45°，PA=AC，

在Rt△ABC中，E是PC中點，

，

∴三棱錐B﹣PAC的體積

【解析】（1）在三角形PBC中，由E是PC中點，F為PB中點，知EF∥BC，由此能夠證明EF∥面ABC．（2）由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，知BC⊥PA，再由AB是⊙O的直徑，知BC⊥AC，故BC⊥面PAC，由此能夠證明EF⊥面PAC．（3）因為PA⊥⊙O所在的平面，AC是PC在面ABC內的射影，所以∠PCA即為PC與面ABC所成角，故∠PCA=45°，PA=AC．由此能夠求出三棱錐B﹣PAC的體積．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對平面與平面垂直的判定的理解，了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．