Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線的極坐標方程為， .

（Ⅰ）若直線與曲線交于不同的兩點， ，當時，求的值；

（Ⅱ）當時，求曲線關于直線對稱的曲線方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）將直線的參數方程與曲線的極坐標方程都化為直角坐標方程，結合圓的幾何性質，根據點到直線的距離公式求解；（Ⅱ）結合直線與圓的位置關系，求出圓心關于直線的對稱點即可得結果.

試題解析：（Ⅰ）消去參數，得曲線的普通方程為，圓心，半徑為.

將， 代入直線的極坐標方程得.

因為，所以圓心到直線的距離，

所以由，解得.

（Ⅱ）當時，直線的方程為，

圓心到直線的距離為 ，即圓與直線相切，此時切點為，

則圓心關于切點的對稱點為，此即為所求圓的圓心，

所以曲線關于直線對稱的曲線方程為.