Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若，討論函數的單調性；

（Ⅱ）若方程沒有實數解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）在單調遞減，在上單調遞增；

（II）

【解析】

（I）先對函數求導，結合導數與單調性的關系即可求解函數的單調性；

（II）由沒有實數解，結合a的范圍，利用函數的單調性及函數的性質可判斷函數的零點存在情況，即可求解．

（Ⅰ）當時，，函數的定義域為，

所以，

令，得，

又因為函數單調遞增，

所以在上，，單調遞減；

在上，，單調遞增.

（II）方程沒有實數解，

即方程沒有實數解，

設函數，

，

（i）當時，，函數沒有零點；

（ii）當時，函數單調遞減，，且，函數有零點；

（iii）當時，令，則，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

當時，，

令，得，

即函數沒有零點，

綜上所述，若函數沒有零點，

即方程沒有實數解，

故實數的取值范圍為.