Question

已知數列{a_n}是一個公差大于0的等差數列，且滿足a₃a₆=55，a₂+a₇=16
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）數列{a_n}和數列{b_n}滿足等式a_n=

b1

2

+

b2

22

+

b3

23

+…+

bn

2n

（n∈N^*），求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

（1）設等差數列{a_n}的公差為d，
則依題意可知d＞0由a₂+a₇=16，
得2a₁+7d=16①
由a₃a₆=55，得（a₁+2d）（a₁+5d）=55②
由①②聯立方程求得
得d=2，a₁=1或d=-2，a₁=

20

7

（排除）
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1
（2）令c_n=

bn

2n

，則有a_n=c₁+c₂+…+c_n
a_n+1=c₁+c₂+…+c_n+1
兩式相減得
a_n+1-a_n=c_n+1，由（1）得a₁=1，a_n+1-a_n=2
∴c_n+1=2，即c_n=2（n≥2），
即當n≥2時，
b_n=2ⁿ⁺¹，又當n=1時，b₁=2a₁=2
∴b_n=

2，(n=1) 2n+1，(n≥2)

于是S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2+2³+2⁴+…2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺²-6，n≥2，
Sn=

2n=1 2n+2-6n≥2

．