Question

設函數，曲線過點，且在點處的切線斜率為2.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的極值點；
（Ⅲ）對定義域內任意一個，不等式是否恒成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）只有極大值點，且極大值點為；（Ⅲ）見解析。

試題分析：（Ⅰ）∵
∴...................1分
∵在點處的切線斜率為2
∴即......................2分
故..............................3分
（Ⅱ）∵（）
得................4分
即
由可得，
當時，...................5分
當時，............................6分
列表可得：

	+	0	—
	↗		↙

 
故只有極大值點，且極大值點為..........................8分
（Ⅲ）令，得（）............9分
∴
即..................10分
由可得，
當時，
當時，.........................11分
列表可得：

	+	0	—
	↗	0	↙

 
由表可知的最大值為
即恒成立
故恒成立.......................12分
點評：極值點的導數為零，但導數為零的點不一定是極值點。因此在求極值點的時候僅僅由=0得到的點不一定是極值點，而應該加以驗證。