Question

（2007•崇明縣一模）已知如圖，直線l：x=-

p

2

（p＞0），點F(

p

2

，0)，P為平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）當p=2時，曲線C上存在不同的兩點關于直線y=kx+3對稱，求實數k滿足的條件（寫出關系式即可）；
（3）設動點M （a，0），過M且斜率為1的直線與軌跡C交于不同的兩點A，B，線段AB的中垂線與x軸交于點N，當|AB|≤2p時，求△NAB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）先設出點P坐標，得到點Q坐標，再代入

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

整理即可得到動點P的軌跡C的方程；
（2）先假設存在，設出對稱點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）以及直線AB所在直線方程為x+ky+n=0，聯立直線方程與拋物線方程，再結合AB中點M在直線y=kx+3上即可得到實數k滿足的條件．
（3）先聯立直線方程與拋物線方程，得到點A，B的坐標與a的關系并表示出線段AB的長，結合|AB|≤2p，求出a的范圍；再求出線段AB的中垂線得到點N的坐標，寫出△NAB面積的表達式，結合函數的單調性即可求解．

解答：解：（1）設點P坐標為P（x，y），則點Q坐標為Q（-

p

2

，y)
則

QP

=(x+

p

2

，0)，

QF

=(p，-y)，

FP

=(x-

p

2

，y)，

FQ

=(-p，y)（2分）
由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．得：y²=2px（p＞0）（4分）
（2）p=2時，y²=4x．
設曲線C上關于直線y=kx+3對稱點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則直線AB所在直線方程為x+ky+n=0，（n為常數）．
代入y²=4x得y²+4ky+4n=0
△=（4k）²-16n＞0即k²-n＞0（3分）
又∵AB中點M在直線y=kx+3上，
則（2k²-n，-2k）代入y=kx+3得-2k=2k³-nk+3（5分）
∴

k2-n＞0 -2k=2k3-nk+3

即k2+

3

k

+2＜0．                                                     （6分）
（3）聯立

y=x-a y2=2px

⇒y²-2px-2pa=0，
∵△=4p²+8pa＞0⇒a＞-

p

2

（1分）
∴|AB|=

2

|x1-x2|=

2

|y1-y2|=

2

(2p)2+8pa

≤2p
∴a≤-

p

4

∴-

p

2

＜a≤-

p

4

．                                       （2分）
AB中垂線y-p=-（x-a-p），即y=-x+a+2p
令y=0，x=a+2p
∴h=

|2p|

2

=

2

p（3分）
∴S△=

2p

•

2

(2p)2+8pa

×

1

2

=P

4p2+8pa

（4分）
在(-

p

2

單調遞增                                   （5分）
當a=-

p

4

時，Smax=

2

p2．                             （6分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系以及弦長公式的應用．解決直線與圓錐曲線的位置關系問題時，常聯立直線方程與圓錐曲線方程，再結合韋達定理，判別式等得結論．