Question

（本小題滿分15分）
已知函數
（Ⅰ）求函數的極值；
（Ⅱ）對于曲線上的不同兩點，如果存在曲線上的點，且，使得曲線在點處的切線∥，則稱為弦的伴隨切線。特別地，當，時，又稱為的λ——伴隨切線。
（ⅰ）求證：曲線的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；
（ⅱ）是否存在曲線C，使得曲線C的任意一條弦均有伴隨切線？若存在，給出一條這樣的曲線 ，并證明你的結論； 若不存在 ，說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）當時，沒有極值；
當時，的極大值為，沒有極小值。（Ⅱ）見解析        

（Ⅰ）  
當，，函數在內是增函數，
∴函數沒有極值。       當時，令，得。
當變化時，與變化情況如下表：

	＋	0	－
	單調遞增	極大值	單調遞減

∴當時，取得極大值。
綜上，當時，沒有極值；
當時，的極大值為，沒有極小值。          
（Ⅱ）（ⅰ）設是曲線上的任意兩點，要證明
有伴隨切線，只需證明存在點，使得
，且點不在上。
∵，即證存在，使得，即成立，且點不在上。   …………………8分
以下證明方程在內有解。…
記，則。
令，
∴，
∴在內是減函數，∴。
取，則，即。……9分
同理可證。∴。
∴函數在內有零點。
即方程在內有解。又對于函數取，則
可知，即點Q不在上。
是增函數，∴的零點是唯一的，
即方程在內有唯一解。
綜上，曲線上任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的。
（ⅱ）取曲線C：，則曲線的任意一條弦均有伴隨切線。
證明如下：
設是曲線C上任意兩點，
則，
又，
即曲線C：的任意一條弦均有伴隨切線。  
注：只要考生給出一條滿足條件的曲線，并給出正確證明，均給滿分。若只給曲
線，沒有給出正確的證明，請酌情給分。
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）（ⅰ）設是曲線上的任意兩點，要證明
有伴隨切線，只需證明存在點，使得
，且點不在上。 ∵，即證存在，使得，
即成立，且點不在上。……………  8分
以下證明方程在內有解。
設。…
則。
記，
∴，
∴在內是增函數，
∴。  同理。。
∴方程在內有解。又對于函數，
∵，，
可知，即點Q不在上。
又在內是增函數，
∴方程在內有唯一解。
綜上，曲線上任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的。
（ⅱ）同解法一。