Question

對于實數a和b，定義運算“﹡”：a*b=設f（x）=（2x-1）﹡（x-1），且關于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根x₁，x₂，x₃，則x₁x₂x₃的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據所給的新定義，寫出函數的分段形式的解析式，畫出函數的圖象，在圖象上可以看出當直線與函數的圖象有三個不同的交點時m的取值，根據一元二次方程的根與系數之間的關系，寫出兩個根的積和第三個根，表示出三個根之積，根據導數判斷出函數的單調性，求出關于m的函數的值域，得到結果．
解答：解：∵2x-1≤x-1時，有x≤0，
∴根據題意得f（x）=
即f（x）=
畫出函數的圖象從圖象上觀察當關于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根時，m的取值范圍是（0，），
當-x²+x=m時，有x₁x₂=m，
當2x²-x=m時，由于直線與拋物線的交點在y軸的左邊，得到，
∴x₁x₂x₃=m（）=，m∈（0，）
令y=，
則，又在m∈（0，）上是增函數，故有h（m）＞h（0）=1
∴＜0在m∈（0，）上成立，
∴函數y=在這個區間（0，）上是一個減函數，
∴函數的值域是（f（），f（0）），即
故答案為：
點評：本題考查分段函數的圖象，考查新定義問題，這種問題解決的關鍵是根據新定義寫出符合條件的解析式，本題是一個綜合問題，涉及到導數判斷函數的單調性，本題是一個中檔題目．