Question

【題目】我們稱滿足以下兩個條件的有窮數列為階“期待數列”；①；②.

（1）若數列的通項公式是，試判斷數列是否為2014階“期待數列”，并說明理由；

（2）若等比數列為階“期待數列”，求公比及數列的通項公式；

（3）若一個等差數列既是（）階“期待數列”又是遞增數列，求該數列的通項公式.

Answer 1

【答案】（1）是；（2），或；（3）.

【解析】

(1)由通項公式，利用分組求和法可證明；；從而可得結論；（2）先證明，由①，得，由②得或，利用等比數列的通項公式可得結果；（3）設等差數列的公差為，，根據既是（）階“期待數列”，求出首項與公差，利用等差數列的通項公式可得結果.

(1)∵，

所以，

∴ ，

，

所以數列為2014階“期待數列”；

（2）若，由①得，，得，矛盾

若，則由①，得，由②得或，

所以，，數列的通項公式為或；

（3）設等差數列的公差為，，

∵，∴，即，

∵，由，得，

由①、②知，兩式相減得，∴，

又，得，

∴數列的通項公式是.