Question

【題目】已知焦點在x軸上的橢圓C1的長軸長為8,短半軸為2,拋物線C2的頂點在原點且焦點為橢圓C1的右焦點．

(1)求拋物線C2的標準方程；

(2)過（1，0）的兩條相互垂直的直線與拋物線C2有四個交點,求這四個點圍成四邊形的面積的最小值．

Answer 1

【答案】(1)y2＝8x；(2)96.

【解析】

(1)由已知直接可求出橢圓的,運用橢圓之間的關系求出,最后可求出拋物線C2的標準方程；

(2) 由題意易得兩條直線的斜率存在且不為0,設其中一條直線l1的斜率為k,設出直線l1方程與拋物線方程聯立,利用一元二次方程根與系數關系,可以求出弦長,同理求出直線l2與拋物線相交時,弦長的表達式,最后求出面積表達式,利用基本不等式可以求出四邊形的面積的最小值．

(1)設橢圓半焦距為c（c＞0）,由題意得c．

設拋物線C2的標準方程為y2＝2px（p＞0）,則，∴p＝4,

∴拋物線C2的標準方程為y2＝8x；

(2)由題意易得兩條直線的斜率存在且不為0,設其中一條直線l1的斜率為k,直線l1方程為y＝k（x﹣1）,則另一條直線l2的方程為y（x﹣1）,

聯立得k2x2﹣（2k2+8）x+k2＝0，△＝32k2+64＞0，設直線l1與拋物線C2的交點為A，B，

則則|AB||x2﹣x1|，

同理設直線l2與拋物線C2的交點為C，D，

則|CD|4．

∴四邊形的面積S|AB||CD|4．

，

令t2，則t≥4（當且僅當k＝±1時等號成立），．

∴當兩直線的斜率分別為1和﹣1時，四邊形的面積最小，最小值為96．