Question

已知．

（1）若的單調減區間是,求實數的值;

（2）若對于定義域內的任意恒成立，求實數的取值范圍；

（3）設有兩個極值點, 且若恒成立,求的最大值．

 

Answer 1

（1）3; （2）; （21）．

【解析】

試題分析：

（1）首先求出，由的單調減區間是得：是方程的兩根，從而確定實數的值;

（2）由題意得，

于是原問題轉化為求函數的最值問題；

（3）先求出，由有兩個極值點得：方程有兩個不相等的實根,且，，，于是可化成關于的函數，利用導數求其最值即可．

試題解析：解:（1）由題意得,則

要使的單調減區間是則,解得 ;

另一方面當時,

由解得,即的單調減區間是．

綜上所述． （4分）

（2）由題意得,∴．

設,則 （6分）

∵在上是增函數,且時,．

∴當時;當時,∴在內是減函數,在內是增函數．

∴ ∴, 即． （8分）

（3）由題意得,則

∴方程有兩個不相等的實根,且

又∵,∴,且 （10分）

設, 則, （12分）

∴在內是增函數, ∴即,

∴,所以m的最大值為． （14分）

考點：1、導數在研究函數性質中的應用；2、等價轉化的思想．