Question

【題目】設函數(shù)f（x）=x（ex﹣1）﹣ax2（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若 ，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在（﹣1，0）內(nèi)無極值，求a的取值范圍；
（3）設n∈N* ， x＞0，求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當 時，

所以f'（x）=ex﹣1+xex﹣x=（ex﹣1）（x+1）

當x∈（﹣∞，﹣1）時，f'（x）＞0；當x∈（﹣1，0）時，f'（x）＜0；

當x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0

故f（x）在（﹣∞，﹣1），（0，+∞）單調(diào)遞增，在（﹣1，0）單調(diào)遞減

（2）解：若f（x）在（﹣1，0）內(nèi)無極值，則f（x）在（﹣1，0）上單調(diào)，

又f'（x）=（x+1）ex﹣2ax﹣1

①若f（x）在（﹣1，0）上遞減，則f'（x）≤0，對x∈（﹣1，0）恒成立，

于是有 ，令 ，

下面證明h（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增： ，令r（x）=（r﹣1）ex+1，則r'（x）=（x﹣1）ex+ex=xex

當x＜0時，r'（x）＜0，r（x）單調(diào)遞減，r（x）＞r（0）=0，h'（x）＞0h（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞增．

當x∈（﹣1，0）時，由g（x）=ex+h（x）是增函數(shù)，得g（x）＞g（﹣1）=1．

由2a≤g（x），得 ；

②若f（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞增，則f'（x）≥0，對x∈（﹣1，0）恒成立，

于是2a≥g（x），當x∈（﹣1，0）時，由ex＞x+1得 ，

從而增函數(shù)g（x）=ex+h（x）＜2，這樣2a＞2，a＞1．綜上得

（3）證明：用數(shù)學歸納法證明①當n=1時，ex＞x+1，不等式成立；

②假設n=k時不等式成立，即 ，

當n=k+1時，令

顯然（0）=0，由歸納假設， 對x＞0成立，

所以（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當x＞0時，（x）＞（0）=0，即當n=k+1

時，不等式也成立．

綜合①②n∈N+，x＞0時，

【解析】（1）當 時，f'（x）=ex﹣1+xex﹣x=（ex﹣1）（x+1），由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．（2）若f（x）在（﹣1，0）內(nèi)無極值，則f（x）在（﹣1，0）上單調(diào)，又f'（x）=（x+1）ex﹣2ax﹣1，由此利用分類討論思想及導數(shù)的性質(zhì)能求出a的取值范圍．（3）用數(shù)學歸納法能證明 ．
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．