Question

（2011•成都二模）某電視臺擬舉行“團(tuán)隊(duì)共享”沖關(guān)比賽，其規(guī)則如下：比賽共設(shè)有“常識關(guān)”和“創(chuàng)新關(guān)”兩關(guān)，每個(gè)團(tuán)隊(duì)共兩人，每人各沖一關(guān)，“常識關(guān)”中有2道不同必答題，“創(chuàng)新關(guān)”中有3道不同必答題；如果“常識關(guān)”中的2道題都答對，則沖“常識關(guān)”成功且該團(tuán)隊(duì)獲得單項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)900元，否則無獎(jiǎng)勵(lì)；如果“創(chuàng)新關(guān)”中的3道題至少有2道題答對，則沖“創(chuàng)新關(guān)”成功且該團(tuán)隊(duì)獲得單項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)1800元，否則無獎(jiǎng)勵(lì)．現(xiàn)某團(tuán)隊(duì)中甲沖擊“常識關(guān)”，乙沖擊“創(chuàng)新關(guān)”，已知甲回答“常識關(guān)”中每道題正確的概率都為

2

3

，乙回答“創(chuàng)新關(guān)”中每道題正確的概率都為

1

2

，且兩關(guān)之間互不影響，每道題回答正確與否相互獨(dú)立．
（I）求此沖關(guān)團(tuán)隊(duì)在這5道必答題中只有2道回答正確且沒有獲得任何獎(jiǎng)勵(lì)的概率；
（Ⅱ）記此沖關(guān)團(tuán)隊(duì)獲得的獎(jiǎng)勵(lì)總金額為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）記“此沖關(guān)團(tuán)隊(duì)在這5道必答題中只有2道回答正確且沒有獲得任何獎(jiǎng)勵(lì)”為事件E，事件E發(fā)生即“常識關(guān)”和“創(chuàng)新關(guān)”兩關(guān)中都恰有一道題答正確，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式解之即可；
（II）隨機(jī)變量ξ取值為0，900，1800，2700，然后根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式求出相應(yīng)的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式解之即可．

解答：解：（I）記“此沖關(guān)團(tuán)隊(duì)在這5道必答題中只有2道回答正確且沒有獲得任何獎(jiǎng)勵(lì)”為事件E，事件E發(fā)生即“常識關(guān)”和“創(chuàng)新關(guān)”兩關(guān)中都恰有一道題答正確．
P(E)=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

C

1 3

×

1

2

×(

1

2

)2=

1

6

．（6分）
（II）隨機(jī)變量ξ取值為0，900，1800，2700．
P（ξ=0）=[1-（

2

3

）²][（

1

2

）³+

C

1 3

×

1

2

×（

1

2

）²]=

5

18

；
P（ξ=900）=（

2

3

）²[（

1

2

）³+

C

1 3

×

1

2

×（

1

2

）²]=

2

9

；
P（ξ=1800）=[（

1

3

）²+

C

1 2

×

1

3

×

2

3

][（

1

2

）³+

C

1 3

×

1

2

×（

1

2

）²]=

5

18

；
P（ξ=2700）=（

2

3

）²[（

1

2

）³+

C

1 3

×

1

2

×（

1

2

）²]=

2

9

；
∴ξ的分布列為

ξ	0	900	1800	2700
P	5 18	2 9	5 18	2 9

Eξ=0×

5

18

+900×

2

9

+1800×

5

18

+2700×

2

9

=1300

點(diǎn)評：本題主要考查了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，以及離散型隨機(jī)變量的期望與分布列，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．