Question

已知區域

y≥0 x- 3 y+2≥0 3 x+y-2 3 ≤0

的外接圓C與x軸交于點A₁、A₂，橢圓C₁以線段A₁A₂為長軸，離心率e=

2

2

．
（1）求圓C及橢圓C₁的方程；
（2）設圓C與y軸正半軸交于點D，O點為坐標原點，D，O中點為E，問是否存在直線l與橢圓C₁交于M，N兩點，且|ME|=|NE|？若存在，求出直線l與A₁A₂夾角θ的正切值的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用條件知道區域是直角三角形求出其外接圓C的方程，以及2a的值，再利用離心率即可求出橢圓C₁的方程；
（2）把直線方程與橢圓C₁的方程聯立，求出M，N兩點以及M，N中點與直線系數之間的關系，再把|ME|=|NE|轉化為E在MN的中垂線上即可找到直線系數之間的等式，再代入前面求得的結論即可求出直線l與A₁A₂夾角θ的正切值的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可知，區域是以A₁（-2，0），A₂（2，0）及點M(1，

3

)為頂點的三角形，
∵A₁M⊥A₂M，∴△A₁A₂M為直角三角形．（2分）
∴外接圓C以原點O為圓心，線段A₁A₂為直徑，故其方程為x²+y²=4．
∵2a=4，∴a=2．
又e=

2

2

，∴c=

2

，可得b=

2

．
∴所求橢圓C₁的方程是

x2

4

+

y2

2

=1．（6分）
（2）點D坐標為（0，2），故點E坐標為（0，1），顯然θ=0可滿足要求；θ=

π

2

時不滿足題意．（8分）
當θ≠0，

π

2

時，設l的方程為y=kx+m（k≠0），
由

y=kx+m x2 4 + y2 2 =1

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
由△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-4）＞0，得4k²+2＞m²；（10分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為F（x₀，y₀），
則x0=

x1+x2

2

=-

2km

1+2k2

，y0=kx0+m=

m

1+2k2

．
∵|ME|=|NE|，∴MN⊥EF，∴

y0-1

x0

=-

1

k

，
即

m 1+2k2 -1

- 2km 1+2k2

=-

1

k

，
解得m=-1-2k²．（12分）
∴4k²+2＞（-1-2k²）²，得-

2

2

＜k＜

2

2

(k≠0)．
綜上，直線l與A₁A₂夾角θ的正切值的取值范圍是(-

2

2

，

2

2

)．（14分）

點評：圓錐曲線的綜合大題，主要考查解析幾何的有關知識，以及分析問題與解決問題的能力．值得引起重視的一個現象是，經常出現一條或幾條直線與兩種圓錐曲線（包括圓）的位置關系問題，同時要注意其與平面幾何、平面向量以及導數的知識的綜合命題．