Question

【題目】設數列的前n項和為,若對任意正整數n,總存在正整數m,使得,則稱是“H數列”;

(1)若數列的前n項和(),判斷數列是否是“H數列”?若是,給出證明;若不是,說明理由;

(2)設數列是常數列,證明:為“H數列”的充要條件是;

(3)設是等差數列,其首項,公差,若是“H數列”,求d的值;

Answer 1

【答案】(1)是,見解析;(2)見解析;(3)

【解析】

（1）求出數列的通項公式，確定是數列中的項即可；

（2）利用是數列中的項可求，注意要證明必要性和充分性．

（3）利用，求出，由是正整數分析的可能情形．

（1），則，時，，所以，

顯然對任意的是數列中的第項，所以數列是“H數列”；

（2）數列是常數列,即，而，數列是“H數列”，則對一切正整數成立，所以；

反之，若，則是數列中的項，即數列是“H數列”．

綜上，為“H數列”的充要條件是;

（3）是等差數列,其首項,公差，，，

若是“H數列”，則存在正整數，使得，

，是正整數，所以是整數，

因為，所以是所有正整數的公約數，又，所以．