Question

【題目】已知a、b、c為的三邊長，直線的方程為，圓．

（1）若為直角三角形，c為斜邊長，且直線與圓M相切．求c的值；

（2）已知為坐標原點，點，，，，平行于ON的直線h與圓M相交于R，兩點，且，求直線h的方程：

（3）若為正三角形，對于直線上任意一點P，在圓上總存在一點，使得線段的長度為整數，求c的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1） （2）或 （3）.

【解析】

（1）為直角三角形，為斜邊長，則，又直線與圓相切，根據點到直線的距離公式，得到關于的方程，求出即可．

（2）由直線平行于計算出斜率，設直線h的方程為，利用點到線的距離公式求距離，勾股定理得到方程，即可求出參數。

（3）此時圓為以為圓心，以為半徑的圓，直線可化為，直線上任意一點，在圓上總存在一點，使得線段的長度為整數，設圓心到直線的距離為，只需能用整數表示，并且圓的直徑即可．

解：（1）由題意得，

圓心到直線的距離，

或0（舍）

綜上：.

（2）圓M的標準方程為，

所以圓心，半徑為5．

因為直線，所以直線h的斜率為．

設直線h的方程為，即，

則圓心M到直線h的距離．

因為

而，所以，

解得或．

故直線h的方程為或．

（3）為正三角形，

，直線，

，對于這條直線，總存在無窮多點在圓外，

從中找一個到圓心距離為的點P，則點P到圖上任意點的距離，

，時不存在整數，

；下面分類討論：

（Ⅰ）直線與圓相切或相離，即；即；

此時，所以可以取到整數．

（Ⅱ）線與圓相交，即，直線上不在圓內的點P，同理成立；

對于直線上在圓內部分的任意點P，，

,

所以使得存在整數的條件是對任意點P都成立，

，，

所以，

綜上.