Question

【題目】如圖，在正三棱柱 ABC A1 B1C1 中， AB 3 ， AA1 4 ， M 為 AA1 的中點(diǎn)， P 是 BC 上一點(diǎn)，且由 P 沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱 CC1 到 M 點(diǎn)的最短路線長(zhǎng)為 ，設(shè)這條最短路線與 CC1 的交點(diǎn)為 N 。求：

（1）該三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長(zhǎng)；

（2） PC 和 NC 的長(zhǎng)；

（3）平面 NMP 和平面 ABC 所成銳二面角大小的正切值.

Answer 1

【答案】（1） ；（2） PC 2 ， NC ；（3）

【解析】

（1）由展開圖為矩形，用勾股定理求對(duì)角線長(zhǎng)．

（2）在側(cè)面展開圖中三角形MAP1是直角三角形，可以求出線段AP的長(zhǎng)度，進(jìn)而可以求出PC的長(zhǎng)度，再由相似比可以求得CN的長(zhǎng)度．

（3）補(bǔ)形，找出兩面的交線，在特殊的位置作出線面角，如圖2．二面角易求．

解：（1）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面展開圖是一個(gè)長(zhǎng)為9，寬為4的矩形，其對(duì)角線長(zhǎng)為

（2）如圖1，將側(cè)面BB1C1C繞棱CC1旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面AA1C1C在同一平面上，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1的位置，連接MP1，則MP1就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC1到點(diǎn)M的最短路線

圖1

設(shè)PC＝x，則P1C＝x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得（3+x）2+22＝29

求得x＝2

∴PC＝P1C＝2

∵

∴

（3）如圖2，連接PP1，則PP1就是平面NMP與平面ABC的交線，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，連接CH，由三垂線定理得，CH⊥PP1

圖2

∴∠NHC就是平面NMP與平面ABC所成二面角的平面角（銳角）

在Rt△PHC中，∵，∴

在Rt△NCH中，

故平面 NMP 和平面 ABC 所成銳二面角大小的正切值為