Question

（2009•奉賢區二模）設函數f（x）的定義域為D，如果對于任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D使f（x₁）+f（x₂）=c（c為常數）成立，則稱函數y=f（x）在D上“與常數c關聯”．現有函數：①y=2x；②y=2sinx；③y=log₂^x；④y=2^x，其中滿足在其定義域上“與常數4關聯”的所有函數是      （　　）

A．①②

B．③④

C．①③④

D．①③

Answer 1

分析：對各個選項分別加以判斷：根據“與常數4關聯”的定義，列出方程可以解出x₂關于x₁表達式且情況唯一的選項是
①和③，而②④通過解方程發現不符合這個定義．從而得出正確答案．

解答：解：對于函數①y=2x定義域為任意實數，取任意的x₁∈R，f（x₁）+f（x₂）=2x₁+2x₂=4，
解得x₂=2-x₁，可以得到唯一的x₂∈R．故“與常數4關聯”成立；
對于函數②y=2sinx，明顯不成立，因為y=2sinx是R上的周期函數，
存在無窮個的x₂∈D，使 f（x1）+f（x2）=4成立．故不滿足條件；
對于函數③y=log₂x，定義域為x＞0，值域為R且單調，
顯然必存在唯一的x₂∈D，使 f（x₁）+f（x₂）=4成立．故“與常數4關聯“成立；
對于函數④y=2^x定義域為R，值域為y＞0．對于x₁=3，f（x₁）=8．
要使 f（x₁）+f（x₂）=4成立，則f（x₂）=-4＜0，不成立，故不滿足條件；
所以滿足條件的選項應該是①③
故選D

點評：本題著重考查了抽象函數的應用，屬于基礎題．充分理解各基本初等函數的定義域和值域，是解決本題的關鍵．