Question

【題目】已知函數定義域為，設.

（1）試確定的取值范圍，使得函數在上為單調函數；

（2）求證：；

（3）求證：對于任意的，總存在，滿足，并確定這樣的的個數.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）∵，

由或，由，

∴在，上遞增，在上遞減，

又∵在上為單調函數，則；

（2）∵在，上遞增，在上遞減，∴在處取得極小值，

又∵，而在上的最小值為，

從而當時，，即；

（3）∵，∴，即為，

令，從而問題轉化為證明方程在上有解，并討論解的個數，

∵，，

∴①當或時，∴在上有解，且只有一解，

②當時，且，又∵，

∴在上有解，且有兩解，

③當時，或，∴在上有且只有一解，

當時，或，

∴在上也只有一解，

綜上所述，對任意的，總存在，滿足，

且當或時，有唯一的符合題意.