Question

設函數f（x）=sinα+

3

cosα，其中角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經過點P（x，y），且0≤α≤π．
（1）若P點的坐標為（

3

，1）求f（a）的值；
（2）若點P（x，y）為平面區域

x+y≥1 y≥ 3 3 x y≤1

上的一個動點，試確定角α的取值范圍，并求函數f（a）的最小值和最大值．

Answer 1

考點：簡單線性規劃的應用

專題：計算題,作圖題,三角函數的求值

分析：（1）由題意可得α=

π

6

，從而求f（a）的值；
（2）作出平面區域，從而確定角α的取值范圍，再化簡三角函數，從而求函數f（a）的最小值和最大值．

解答： 解：（1）∵P點的坐標為（

3

，1），
∴α=

π

6

，
故f（

π

6

）=sin

π

6

+

3

cos

π

6

=

1

2

+

3

2

=2；
（2）由題意，作出平面區域，

由圖可知，

π

6

≤α≤

π

2

，
故f（a）=sinα+

3

cosα
=2sin（α+

π

3

），
∵

π

6

≤α≤

π

2

，
∴

π

2

≤α+

π

3

≤

5π

6

，
∴1≤2sin（α+

π

3

）≤2，
故函數f（a）的最小值為1，最大值為2．

點評：本題考查了三角函數的化簡與性質應用，同時考查了角的求法，屬于中檔題．