Question

如果三棱錐的每條側棱和底面的邊長都是a，那么這個三棱錐的外接球的體積是（　　）

• A、

  6

  8

  πa³
• B、

  2 6

  27

  πa³
• C、

  8 6

  9

  πa³
• D、

  6

  6

  πa³

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：空間位置關系與距離

分析：由正三棱錐S-ABC的所有棱長均為a，所以此三棱錐一定可以放在棱長為

2

2

a的正方體中，所以此四面體的外接球即為此正方體的外接球，由此能求出此四面體的外接球的半徑，再代入體積公式計算

解答： 解：∵正三棱錐S-ABC的所有棱長均為a，
∴此三棱錐一定可以放在棱長為

2

2

a的正方體中，
∴此四面體的外接球即為此正方體的外接球，
∵外接球的直徑為正方體的對角線長，
∴外接球的半徑為R=

1

2

×

1 2 + 1 2 + 1 2

a=

6

4

a，
∴球的體積為V=

4

3

π(

6

4

)3=

6

8

a3π；
故選A．

點評：本題考查幾何體的外接球問題，考查了空間想象能力，其解答的關鍵是根據幾何體的結構特征，求出接體幾何元素的數據，代入體積公式分別求解．