Question

將三個(gè)小球隨機(jī)地投入編號(hào)1，2，3，4的4個(gè)盒子中（每個(gè)盒子容納的小球的個(gè)數(shù)沒(méi)有限制），求：
（1）第1個(gè)盒子為空盒的概率；
（2）小球最多的盒子中小球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）確定任意投放的方法數(shù)、第1個(gè)盒子為空盒的方法數(shù)，即可求第1個(gè)盒子為空盒的概率；
（2）確定小球最多的盒子中小球的個(gè)數(shù)X的取值，求出相應(yīng)的概率，即可求出X的分布列和期望．

解答：解：（1）任意投放共有4³=64（種）方法，若第1個(gè)盒子為空盒，則小球可隨機(jī)地投入編號(hào)2，3，4的3個(gè)盒子中，有3³=27（種）方法，故所求的概率為

27

64

．
（2）小球最多的盒子中小球的個(gè)數(shù)X的取值為1，2，3．則
P（X=1）=

A 3 4

43

=

3

8

；P（X=2）=

C 2 4 C 2 3 A 2 2

43

=

9

16

；P（X=3）=

C 1 4

43

=

1

16

．
故X的分布列為

所以X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=1×

3

8

+2×

9

16

+3×

1

16

=

27

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率知識(shí)，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．