Question

.(本小題滿分13分)

已知常數a為正實數，曲線C_n：y＝在其上一點P_n(x_n，y_n)的切線l_n總經過定點(－a,0)(n∈N^*).

(1)求證：點列：P₁，P₂，…，P_n在同一直線上；

(2)求證： (n∈N^*).

Answer 1

.證法一：(1)∵f(x)＝，

∴f′(x)＝·(nx)′＝·.(1分)

C_n：y＝在點P_n(x_n，y_n)處的切線l_n的斜率k_n＝f′(x_n)＝·，

∴l_n的方程為y－y_n＝·(x－x_n).(2分)

∵l_n經過點(－a,0)，

∴y_n＝－·(－a－x_n)＝·(a＋x_n).

又∵P_n在曲線C_n上，∴y_n＝＝·(a＋x_n)，

∴x_n＝a，∴y_n＝，∴P_n(a，)總在直線x＝a上，

即P₁，P₂，…，P_n在同一直線x＝a上.(4分)

(2)由(1)可知y_n＝，∴f(i)＝＝＝.(5分)

＝<＝2(－)(i＝1,2，…，n)，

.(9分)

設函數F(x)＝－ln(x＋1)，x∈[0,1]，有F(0)＝0，

∴F′(x)＝－＝＝>0(x∈(0,1))，

∴F(x)在[0,1]上為增函數，

即當0<x<1時F(x)>F(0)＝0，故當0<x<1時>ln(x＋1)恒成立.(11分)

取x＝(i＝1,2,3，…，n)，f(i)＝>ln(1＋)＝ln(i＋1)－lni，

即f(1)＝>ln2，f(2)＝>ln(1＋)＝ln3－ln2，…，f(n)＝>ln(n＋1)－lnn，

    綜上所述有 (n∈N^*).(13分)

證法二：(1)設切線l_n的斜率為k_n，由切線過點(－a,0)得切線方程為y＝k_n(x＋a)，

則方程組的解為.(1分)

由方程組用代入法消去y化簡得kx²＋(2ak－n)x＋ka²＝0，(*)

有Δ＝(2ak－n)²－4k·ka²＝－4ank＋n²＝0，

∴k＝.(2分)

代入方程(*)，得x²＋(2a·－n)x＋·a²＝0，即x²－2a·x＋a²＝0，

∴x＝a，即有x_n＝a，y_n＝＝，

即P₁，P₂，…，P_n在同一直線x＝a上.(4分)

(2)先證：0<x<1時>x>ln(x＋1)，以下類似給分.