Question

下列命題中，正確的是

①③

（1）平面向量

a

與

b

的夾角為60°，

a

=(2，0)，|

b

|=1，則|

a

+

b

|=

7

（2）若x≠0，則x+

1

x

≥2
（3）若命題p：“?x∈R，x²-x-1＞0”，則命題p的否定為“?x∈R，x²-x-1≤0
（4）“a=1是“直線x-ay=0與直線x+ay=0互相垂直”的充要條件．

Answer 1

分析：由已知中向量

a

的坐標，求出向量

a

的模，進而利用平方法求出|

a

+

b

|2，進而求出|

a

+

b

|，可判斷①；
利用基本不等式求出x≠0時，x+

1

x

的取值范圍，可判斷②；
根據特稱命題的否定方法，求出原命題的否定命題，可判斷③；
根據直線垂直的充要條件，及充要條件定義，可判斷④．

解答：解：∵

a

=(2，0)，|

b

|=1，∴|

a

|=2，故

a

•

b

=1，故|

a

+

b

|2=

a

2+

b

2+2

a

•

b

=7，故|

a

+

b

|=

7

，故①正確；
當x＞0時，x+

1

x

≥2，當x＜0時，x+

1

x

≤-2，故x≠0，則x+

1

x

≥2或x+

1

x

≤-2，故②錯誤；
命題p：“?x∈R，x²-x-1＞0”時，￢p：“?x∈R，x²-x-1≤0”故③正確；
當“a=1”時，“直線x-y=0與直線x+y=0互相垂直”，當“直線x-ay=0與直線x+ay=0互相垂直”時，“a=±1”，故“a=1是“直線x-ay=0與直線x+ay=0互相垂直”的充分不必要條件，故④錯誤；
故答案為：①③

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了向量模的求法，基本不等式，特稱命題的否定及直線垂直的充要條件等知識點，難度不大，屬于基礎題．