Question

在△ABC中，角A、B、C對邊分別為a、b、c，且2cos（B-C）-1=4cosBcosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=3，2sinB=sinC，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：正弦定理,兩角和與差的余弦函數

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用兩角和、差的余弦公式化簡式子，結合內角的范圍和內角和定理求出角A；
（Ⅱ）由正弦定理化簡2sinB=sinC得：2b=c，再由題意和余弦定理求出b²，代入三角形的面積公式求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）因為2cos（B-C）-1=4cosBcosC，
所以2（cosBcosC+sinBsinC）-1=4cosBcosC，
即2（cosBcosC-sinBsinC）=-1，可得2cos（B+C）=-1，
則cos（B+C）=-

1

2

．
由0＜B+C＜π，可得B+C=

2π

3

，
所以A=π-（B+C）=

π

3

；
（Ⅱ）因為2sinB=sinC，所以由正弦定理得2b=c，
又a=3，由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
則9=b²+4b²-4b²cos

π

3

，解得b²=3，
所以△ABC的面積s=

1

2

bcsinA=b²sinA=3×

3

2

=

3 3

2

．

點評：本題考查兩角和、差的余弦公式，正弦、余弦定理的應用，注意三角形內角的范圍和內角和定理．