Question

已知橢圓過點，且它的離心率．直線

與橢圓交于、兩點．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）當(dāng)時，求證：、兩點的橫坐標(biāo)的平方和為定值；

（Ⅲ）若直線與圓相切，橢圓上一點滿足，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ；

(Ⅱ)，為定值．

（Ⅲ）的取值范圍為 ．

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

由已知得：，解得   

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：   4分

(Ⅱ) 由，得，設(shè)，，

則，為定值． 9分

（Ⅲ）因為直線與圓相切

所以，     

把代入并整理得：

設(shè)，則有 

因為，， 所以，

又因為點在橢圓上， 所以，

．   因為    所以 ，

所以 ，所以 的取值范圍為 ．     16分

考點：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，二次函數(shù)性質(zhì)。

點評：中檔題，涉及橢圓的題目，在近些年高考題中是屢見不鮮，往往涉及求標(biāo)準(zhǔn)方程，研究直線與橢圓的位置關(guān)系。求標(biāo)準(zhǔn)方程，主要考慮定義及a,b,c,e的關(guān)系，涉及直線于橢圓位置關(guān)系問題，往往應(yīng)用韋達(dá)定理。涉及直線于圓的位置關(guān)系問題，往往利用“特征三角形”。本題在應(yīng)用韋達(dá)定理的基礎(chǔ)上，得到參數(shù)的表達(dá)式，應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)使問題得解。