Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

，
（1）判定函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1]上的單調(diào)性；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上的最值．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判定函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1]上的單調(diào)性；
（3）利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上的最值．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域為{x|x≠0}，
則f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x），則f（x）是奇函數(shù)．
（2）設(shè)x₁＜x₂≤-1，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-x₂-

1

x2

=（x₁-x₂）•

x1x2-1

x1x2

，
∵x₁＜x₂≤-1，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
則f（x）是單調(diào)增函數(shù)．
（3）由（2）可以證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞增，
∴y_max=f（4）=4+

1

4

=

17

4

y_min=f（2）=2+

1

2

=

5

2

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．