Question

數(shù)列{a_n}滿足a_n＞0，S_n=

1

2

（a_n+

1

an

），求S₁，S₂，猜想S_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：利用數(shù)列{a_n}滿足的遞推關(guān)系a_n＞0，S_n=

1

2

（a_n+

1

an

），可求得S₁，S₂，從而可猜想S_n，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答： 解：∵a_n＞0，∴S_n＞0，由S₁=

1

2

（a₁+

1

a1

），變形整理得S₁²=1，取正根得S₁=1．
由S₂=

1

2

（a₂+

1

a2

）及a₂=S₂-S₁=S₂-1得S₂=

1

2

（S₂-1+

1

S2-1

），
變形整理得S₂²=2，取正根得S₂=

2

．同理可求得S₃=

3

．由此猜想S_n=

n

．
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，上面已求出S₁=1，結(jié)論成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即S_k=

k

．
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，S_k+1=

1

2

（a_k+1+

1

ak+1

）=

1

2

（S_k+1-S_k+

1

Sk+1-Sk

）=

1

2

（S_k+1-

k

+

1

Sk+1- k

），
整理得S_k+1²=k+1，取正根得S_k+1=

k+1

．
故當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．
由（1）、（2）可知，對(duì)一切n∈N^*，S_n=

n

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系的應(yīng)用，著重考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，猜想S_n=

n

是關(guān)鍵，考查計(jì)算、猜想及推理論證的能力，屬于中檔題．