Question

【題目】如圖，在四棱柱中，四邊形ABCD為平行四邊形，且點在底面上的投影H恰為CD的中點.

（1）棱BC上存在一點N，使得AD⊥平面，試確定點N的位置，說明理由；

（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）點N為棱BC的中點，理由見解析；（2）2.

【解析】

（1）點N為棱BC的中點，由題可得△HBC為等邊三角形，所以NH⊥BC，又可證⊥BC，故可得BC⊥平面，又AD//BC，即證AD⊥平面；

（2）由題得到平面的距離即為A到平面的距離，過A作AM⊥CD于點M，證AM⊥平面，則，由條件代值計算即可.

（1）當點N為棱BC的中點時，符合題目要求，下面給出證明.

分別連結NH，，BH，

∵在底面上的投影H恰為CD的中點，∴⊥平面ABCD，

又BC平面ABCD，∴⊥BC，

在△HBC中，，故△HBC為等邊三角形，

又點N為棱BC的中點，∴NH⊥BC，

又⊥BC，∩NH=H，，NH平面，

∴BC⊥平面，

又由平行四邊形ABCD得AD//BC，

∴AD⊥平面，點N即為所求.

（2）∵平面//平面，

∴到平面的距離即為A到平面的距離，

過A作AM⊥CD于點M，

又⊥平面ABCD，∴⊥AM，

又，∴AM⊥平面，

，，

又，

所以.