Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)k，定義函數(shù)f_k（x）=

f(x)，f(x)≤k k，f(x)＞k

．設(shè)函數(shù)f（x）=2+x-e^x，若對(duì)任意的x∈（-∞，+∞）恒有f_k（x）=f（x），則（　　）

A．k的最大值為2

B．k的最小值為2

C．k的最大值為1

D．k的最小值為1

Answer 1

分析：由已知條件可得k≥f（x）_max，用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，進(jìn)而求出k的范圍，進(jìn)一步得出所要的結(jié)果．

解答：解：由題意可得出k≥f（x）_max，
由于f′（x）=1-e^x，令f′（x）=0，e^x=1=e⁰解出x=0，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞減．
故當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取到最大值f（0）=2-1=1．
故當(dāng)k≥1時(shí)，恒有f_k（x）=f（x）
因此k的最小值為1．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生對(duì)新定義型問題的理解和掌握程度，理解好新定義的分段函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，將所求解的問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題，利用了導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了恒成立問題的解題思想．